Детство Льва прошло в подмосковных Люберцах, где дислоцировалась воинская часть его отца. Мечтая стать лётчиком, он даже пытался стать сыном полка во время Великой Отечественной войны. После окончания школы поступил в Калужский педагогический институт, где начал заниматься в драматическом кружке.
В 1956 году Барашков поступил в ГИТИС, а после его окончания был приглашён в Московский драматический театр им. А. С. Пушкина. Там он сыграл несколько заметных ролей, в том числе в спектакле-концерте, где исполнил известные песни “А у нас во дворе” и “Хотят ли русские войны”.
В середине 1960-х годов Лев Павлович оставил театр и стал солистом ансамбля Игоря Гранова “Голубые гитары”, а с 1966 по 1976 год работал в Москонцерте. Он был первым исполнителем песни Александры Пахмутовой на стихи Николая Добронравова и Сергея Гребенникова “Главное, ребята, сердцем не стареть”, которая стала его визитной карточкой.
Голос Барашкова – небольшой баритон приятного сочного тембра. Хотя вокалу он профессионально не обучался, пел без кантилены, диапазон голоса был небольшим. В его репертуар вошли песни из кинофильмов, произведения Владимира Высоцкого, Юрия Визбора и других советских бардов.
Умер Лев Павлович Барашков 23 февраля 2011 года в Москве. Похоронен на Ваганьковском кладбище.