С раннего детства Евгений проявлял интерес к музыке, и уже в два года вместе с семьёй переехал в Мотовилиху – рабочий пригород Перми, где его родители работали на заводе. Окончив Мотовилихинскую музыкальную школу, Крылатов поступил в Пермское музыкальное училище, а затем продолжил образование в Московской государственной консерватории.
Среди его учителей были такие выдающиеся музыканты, как Альфред Шнитке, Алемдар Караманов и Эдуард Лазарев. В студенческие годы Крылатов активно работал в драматическом театре, его произведения звучали по радио. Он написал музыку к спектаклям из «золотого фонда» театрального репертуара, таким как «Недоросль» и «Горе от ума» в Малом театре.
Крылатов создал большое количество сочинений в разных жанрах: симфоническая, камерная, эстрадная музыка, музыка для драматического театра, радио и телевидения. Но особенно плодотворно его творчество в кинематографе. Широкую известность композитору принесла музыка к мультфильмам «Умка» и «Дед Мороз и лето», а также кинофильмам «О любви», «Достояние республики» и другим.
Евгений Крылатов скончался 8 мая 2019 года в Москве от двусторонней пневмонии на 86-м году жизни. Похоронен на Митинском кладбище Москвы рядом с супругой.